SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

 

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agosto 22, 2021

 

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SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES.

Na mecânica estatística quântica, a entropia de von Neumann, nomeada em homenagem a John von Neumann, é a extensão dos conceitos clássicos de entropia de Gibbs ao campo da mecânica quântica.^[1] O formalismo matemático abrangente da mecânica quântica foi apresentado pela primeira vez no livro "Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik" publicado em 1932 de Johann von Neumann.^[2] Para um sistema mecânico quântico descrito por uma matriz densidade ρ, a entropia de von Neumann és^[3][4]

${\displaystyle S=-\mathrm {tr} (\rho \ln \rho ),}$

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onde ${\displaystyle \mathrm {tr} }$ denota o traço e ln denota o logaritmo (natural) da matriz. E se ρ é escrito em termos de seus autovetores ${\displaystyle |1\rangle ,|2\rangle ,|3\rangle ,\dots }$ como

${\displaystyle \rho =\sum _{j}\eta _{j}\left|j\right\rangle \left\langle j\right|~,}$

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então a entropia de von Neumann é meramente^[3]

${\displaystyle S=-\sum _{j}\eta _{j}\ln \eta _{j}.}$

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Nesta forma, S pode ser visto como equivalente à entropia teórica de Shannon da informação.^[3]

Na mecânica quântica, equação de Dirac é uma equação de onda relativística proposta por Paul Dirac em 1928 que descreve com sucesso partículas elementares de spin-½, como o elétron. Anteriormente, a equação de Klein-Gordon (uma equação de segunda ordem nas derivadas temporais e espaciais) foi proposta para a mesma função, mas apresentou severos problemas na definição de densidade de probabilidade. A equação de Dirac é uma equação de primeira ordem, o que eliminou este tipo de problema. Além disso, a equação de Dirac introduziu teoricamente o conceito de antipartícula, confirmado experimentalmente pela descoberta em 1932 do pósitron, e mostrou que spin poderia ser deduzido facilmente da equação, ao invés de postulado. Contudo, a equação de Dirac não é perfeitamente compatível com a teoria da relatividade, pois não prevê a criação e destruição de partículas, algo que apenas uma teoria quântica de campos poderia tratar.

A equação propriamente dita é dada por:

${\displaystyle \left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)}$,

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na qual m é a massa de repouso do elétron, c é a velocidade da luz, p é o operador momentum linear ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck divida por 2π, x e t são as coordenadas de espaço e tempo e ψ(x, t) é uma função de onda com quatro componentes.

Cada α é um operador linear que se aplica à função de onda. Escritos como matrizes 4×4, são conhecidos como matrizes de Dirac. Uma das escolhas possíveis de matrizes é a seguinte:

${\displaystyle \alpha _{0}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad \alpha _{1}={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&1&0\\0&1&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle \alpha _{2}={\begin{bmatrix}0&0&0&-i\\0&0&i&0\\0&-i&0&0\\i&0&0&0\end{bmatrix}}\quad \alpha _{3}={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&-1\\1&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}}$.

Em mecânica quântica, a equação de Klein–Gordon é a versão relativista da equação de Schrödinger.^[1] Algumas vezes chamada de Klein–Fock–Gordon ou Klein–Gordon–Fock.

É a equação de movimento de um campo escalar ou pseudo-escalar quântico. Este campo descreve partículas sem spin. Esta equação não corresponde a uma densidade de probabilidade definida positiva e além disso é de segunda ordem na derivada temporal, o que impede uma interpretação física simples. Ela descreve uma partícula pontual que se propaga nos dois sentidos temporais e a sua interpretação é possível recorrendo à teoria de antipartículas desenvolvida por Feynman e Stueckelberg. Todas soluções da equação de Dirac são soluções da equação de Klein-Gordon, mas o inverso é falso.

Índice

• 1A equação
  • 1.1Versão Complexa
  • 1.2História
• 2Referências

A equação

A equação de Klein–Gordon é derivada aplicando o processo de quantização a relação de energia relativística para uma partícula livre:

${\displaystyle E^{2}=c^{2}{\vec {\textbf {p}}}^{2}+m^{2}c^{4}}$

fazendo as identificações padrão ${\displaystyle {\vec {\textbf {p}}}\to -i\hbar \nabla }$ e ${\displaystyle E\to i\hbar \partial _{t}}$, em unidades SI se obtém a forma:

${\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\phi -\nabla ^{2}\phi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi =0.}$

que também é frequentemente reescrita de forma mais compacta utilizando o operador d'alembertiano ${\displaystyle \Box ={\frac {1}{c^{2}}}\partial _{tt}-\nabla ^{2}}$ e em unidades naturais:

${\displaystyle \left(\Box +m^{2}\right)\phi =0}$

No contexto de Teoria Quântica de Campos, a equação também pode ser derivada aplicando a equação de Euler-Lagrange para campos:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\left({\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \left(\partial _{\mu }x\right)}}\right)-{\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=0}$

em que a convenção de soma de Einstein está em uso, à seguinte densidade de lagrangiana:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{2}\right)}$.

Neste contexto, após o processo de segunda quantização, se diz que este campo de Klein-Gordon descreve bósons sem carga, sem spin de massa m.

Versão Complexa

Há uma versão complexa do campo de Klein-Gordon podendo ser derivada da densidade de Lagrangiana:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}\left(\partial _{\mu }\phi ^{*}\partial ^{\mu }\phi -{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi ^{*}\phi \right)}$

satisfazendo:

${\displaystyle \left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi =0~~~~~~~~~~~~\left(\Box +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\phi ^{*}=0}$

A este campo ${\displaystyle \phi }$ estão associados bósons com carga, sem spin de massa m.^[2]

História

A equação foi nomeada em honra dos físicos Oskar Klein e Walter Gordon, que a propuseram no ano de 1927 para descrever electrões relativistas. No entanto, foi mais tarde descoberto que os electrões são partículas com spin e corretamente descritos pela equação de Dirac. A equação de Klein Gordon descreve corretamente partículas escalares como o pião.

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A equação de Lippmann–Schwinger (em homenagem a Bernard Lippmann e Julian Schwinger^[1]) é uma das equações mais utilizadas para descrever colisões de partículas – ou, mais precisamente, de espalhamento – na mecânica quântica. Pode ser usado para estudar o espalhamento das moléculas, átomos, nêutrons, fótons ou quaisquer outras partículas e é importante principalmente para o estudo de física óptica, atômica e molecular, física nuclear e física de partículas, mas também para os problemas de espalhamento em geofísica. Ela refere-se a função de onda espalhada com a interação que produz o espalhamento (potencial espalhador) e, por conseguinte, permite o cálculo dos parâmetros experimentais relevantes (amplitude de espalhamento e a sessão de choque).

A equação mais fundamental para descrever qualquer fenômeno quântico, incluindo o espalhamento, é a equação de Schrödinger. Em problemas físicos esta equação diferencial deve ser resolvida com a entrada de um conjunto adicional de condições iniciais e/ou condições de contorno para o sistema físico estudado. A equação de Lippmann-Schwinger é equivalente à equação Schrödinger mais as condições de contorno para problemas típicos de espalhamento. A fim de incorporar as condições de contorno, a equação Lippmann-Schwinger deve ser escrita como uma equação integral.^[2] Para problemas de espalhamento, a equação de Lippmann-Schwinger muitas vezes é mais conveniente do que a equação de Schrödinger.

A equação de Lippmann-Schwinger é, de forma geral, (na verdade são duas equações mostrados abaixo, uma para ${\displaystyle +\,}$ e outra para ${\displaystyle -\,}$):

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle .\,}$

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Nas equações acima, ${\displaystyle |\psi ^{(+)}\rangle \,}$ é a função de onda de todo o sistema (os dois sistemas considerados como um todo colidem) em um tempo infinito antes da interação; e ${\displaystyle |\psi ^{(-)}\rangle \,}$, em um tempo infinito após a interação (a "função de onda espalhada"). O potencial de energia ${\displaystyle V\,}$ descreve a interação entre os dois sistemas em colisão. O Hamiltoniano ${\displaystyle H_{0}\,}$ descreve a situação em que os dois sistemas estão infinitamente distantes e não interagem. As suas autofunções são ${\displaystyle |\phi \rangle \,}$ e seus autovalores são as energias ${\displaystyle E\,}$. Finalmente, ${\displaystyle i\epsilon \,}$ é uma questão técnica matemática utilizada para o cálculo das integrais necessárias para resolver a equação e não tem nenhum significado físico.

Índice

• 1Uso
• 2Derivação
• 3Métodos de solução
• 4Interpretação dos estados "in" e "out"
  • 4.1O paradigma da matriz S
  • 4.2A conexão com Lippmann-Schwinger
  • 4.3Criação de pacotes de onda
  • 4.4Condição de contorno
  • 4.5O denominador complexo das equações de Lippmann–Schwinger
• 5Fórmula para a matriz S
• 6Homogeneização
• 7Ver também
• 8Referências
• 9Bibliografia

Uso

A equação de Lippmann-Schwinger é útil num grande número de situações que envolvem o espalhamento de dois corpos. Para três ou mais corpos colidindo ele não funciona bem por causa das limitações matemáticas; as equações de Faddeev podem ser utilizadas como uma alternativa.^[3] No entanto, existem aproximações que podem reduzir um problema de muitos corpos a um conjunto de problemas de dois corpos numa variedade de casos. Por exemplo, em uma colisão entre elétrons e moléculas, pode haver dezenas ou centenas de partículas envolvidas. Mas o fenômeno pode ser reduzido a um problema de dois corpos, descrevendo todos os potenciais das partículas constituintes juntamente com um pseudopotencial.^[4] Nestes casos, as equações Lippmann-Schwinger podem ser utilizadas. Naturalmente, as principais motivações destas abordagens são também a possibilidade de fazer os cálculos com os esforços computacionais otimizados.

Derivação

Vamos supor que o Hamiltoniano pode ser escrito como

${\displaystyle H=H_{0}+V}$

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onde H e H₀ possuem os mesmos autovalores e H₀ é a Hamiltoniana de uma partícula livre. Por exemplo, na mecânica quântica não-relativística H₀ pode ser

${\displaystyle H_{0}={\frac {p^{2}}{2m}}}$.

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Intuitivamente V é a energia de interação do sistema. Esta analogia é um pouco enganadora, pois as interações tipicamente mudam a energia E dos estados estacionários, mas H e H₀ possui um espectro idêntico E_α. Isto significa que, por exemplo, um Estado vinculado que é um autoestado da Hamiltoniana interagente também será um autoestado do Hamiltoniano livre. Isto está em contraste com o Hamiltoniano obtido desligando todas as interações, nesse caso, não haveria estados ligados. Assim, pode-se pensar em H₀ como o Hamiltoniano livre para os estados ligados com parâmetros eficazes que são determinados pelas interações.

Seja um autoestado de H₀:

${\displaystyle H_{0}|\phi \rangle =E|\phi \rangle }$.

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Agora, se adicionarmos a interação ${\displaystyle V\,}$ precisaremos resolver

${\displaystyle \left(H_{0}+V\right)|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$.

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Por causa da continuidade dos autovalores de energia, queremos que ${\displaystyle |\psi \rangle \to |\phi \rangle }$ quando ${\displaystyle V\to 0}$.

Uma solução para essa equação pode ser

${\displaystyle |\psi \rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}}}V|\psi \rangle }$.

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onde a notação 1/A indican o inverso de A. No entanto E − H₀ é singular uma vez que E é um autovalor de H₀.

Como está descrito abaixo, essa singularidade é eliminada por duas vias distintas, fazendo o denominador complexo:

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +{\frac {1}{E-H_{0}\pm i\epsilon }}V|\psi ^{(\pm )}\rangle }$.

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Por inserção de um conjunto completo de estados de partículas livres,

${\displaystyle |\psi ^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }}\langle \phi _{\beta }|V|\psi ^{(\pm )}\rangle ,\quad H_{0}|\phi _{\beta }\rangle =E_{\beta }|\phi _{\beta }\rangle }$,

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a equação de Schrödinger é transformada em uma equação integral. Os estados "in" (+) e "out" (−) são assumidos para formar bases, no passado distante e num futuro distante tendo, respectivamente, a aparência de estados de partículas livres, mas sendo autofunções do Hamiltoniano completo. Assim, adotando-se índices, a equação pode ser escrita como:

${\displaystyle |\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle =|\phi \rangle +\int d\beta {\frac {T_{\beta \alpha }|\phi _{\beta }\rangle }{E-E_{\beta }\pm i\epsilon }},\quad T_{\beta \alpha }=\langle \phi _{\beta }|V|\psi _{\alpha }^{(\pm )}\rangle }$.

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Métodos de solução

Do ponto de vista matemático a equação Lippmann-Schwinger na representação de posição é uma equação integral do tipo Fredholm. Ela pode ser resolvida por discretização. Uma vez que é equivalente a equação de Schrödinger independente do tempo com condições de fronteira apropriadas, que também podem ser resolvidas por métodos numéricos para equações diferenciais. No caso do potencial esfericamente simétrico ${\displaystyle V}$, geralmente é resolvido pelo método de ondas parciais. Para altas energias e/ou um fraco potencial, pode também ser resolvido pelo método perturbativo utilizando a aproximação de Born. O método conveniente, também no caso da física de muitos corpos, como na descrição de colisões atômicas, nucleares ou moleculares é o método da R-matrix de Wigner e Eisenbud. Outra classe de métodos são baseadas na expansão do potencial ou do operador de Green, como os métodos de frações contínuas de Horáček e Sasakawa. Uma classe de métodos muito importante é baseada em princípios variacionais, por exemplo princípio variacional de Schwinger, e o método Schwinger-Lanczos combinando o princípio variacional de Schwinger com o algoritmo de Lanczos.

Interpretação dos estados "in" e "out"

O paradigma da matriz S

Na formulação da matriz S da física de partículas, que foi iniciada por John Archibald Wheeler entre outros, todos os processos físicos são modelados de acordo com o seguinte paradigma.

Começa-se com um estado de várias partículas não-interagentes num passado distante. A não-interação entre eles não significa que todas as forças de tenham sido desligadas, por exemplo os protons se desintegrariam, mas sim que existe uma livre-interação do Hamiltoniano H₀, para que os estados ligados tenham o mesmo espectro do nível de energia conforme o Hamiltoniano H. Este estado inicial é referido como o estado in. Intuitivamente, ele consiste em estados ligados que estão suficientemente bem separados, e que suas interações com os outros são ignorados.

A ideia é que qualquer processo físico que se está tentando estudar pode ser modelado como um processo de espalhamento desses estados ligados de forma separada. Este processo é descrito plenamente pelo hamiltoniano H, mas uma vez encerrada a interação, todos os novos estados ligados separam-se novamente e encontra-se um novo estado não interagente chamado o estado out. A matriz S é mais simétrica sob a relatividade do que o Hamiltoniano, porque não necessita de uma escolha de intervalos temporais para ser definida.

Este paradigma permite calcular as probabilidades de todos os processos que temos observado em 70 anos de experimentos nos colisores de partículas com uma precisão notável. Mas muitos fenômenos físicos interessantes obviamente não se encaixam nesse paradigma. Por exemplo, quando se quer considerar a dinâmica dentro de uma estrela de nêutrons, por vezes, se quer saber mais a respeito dos processos de decaimento. Em outras palavras, pode-se estar interessado em medições que não estão no futuro assintótico. Às vezes um passado assintótico ou futuro não está disponível. Por exemplo, é muito possível que não haja passado antes do big bang.

Na década de 1960, o paradigma da matriz S foi elevado por muitos físicos a uma lei fundamental da natureza. Na teoria da matriz S, afirmou-se que qualquer quantidade que se pode medir deve ser encontrada na matriz S por algum processo. Esta ideia foi inspirada pela interpretação física de que as técnicas da matriz S poderiam dar aos diagramas de Feynman, o que levou à construção de modelos de ressonância dupla. Mas isso é muito controverso, porque negou-se a validade da teoria quântica de campos baseados em campos locais e Hamiltonianos.

A conexão com Lippmann-Schwinger

Intuitivamente, as funções e autofunções levemente modificadas ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ do Hamiltoniano total H são os estados in e out. As funções ${\displaystyle \phi }$ são não-interagentes e se assemelham aos estados in e out no passado infinito e no futuro infinito.

Criação de pacotes de onda

A representação intuitiva não é muito correta, porque ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ é uma autofunção do Hamiltoniano e assim em momentos diferentes apenas difere de uma fase. Assim, em particular, o estado físico não evolui e por isso não pode se tornar não-interagente. Este problema é facilmente contornado pelo conjunto ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ e ${\displaystyle \phi }$ em pacotes de ondas com uma distribuição ${\displaystyle g(E)}$ de energias ${\displaystyle E}$ sobre uma escala característica ${\displaystyle \Delta E}$. O princípio da incerteza agora permite que as interações dos estados assintóticos ocorram ao longo de uma escala de tempo ${\displaystyle \hbar /\Delta E}$ de forma que não seja concebível que as interações possam ser desligadas fora deste intervalo. O seguinte argumento sugere que este é realmente o caso.

Conectando as equações de Lippmann-Schwinger às definições

${\displaystyle \psi _{g}^{(\pm )}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\psi ^{(\pm )}}$

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e

${\displaystyle \phi _{g}(t)=\int dE\,e^{-iEt}g(E)\phi }$

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dos pacotes de onda vemos que, num dado momento, a diferença entre o ${\displaystyle \psi _{g}(t)}$ e ${\displaystyle \phi _{g}(t)}$ são dados por pacotes de ondas integrados sobre a energia E.

Condição de contorno

Esta integral pode ser calculada através da definição da função de onda ao longo do plano complexo E e fechando o contorno de E usando um semicírculo em que as funções de onda desaparecem. A integral sobre o contorno fechado pode então ser calculada, usando o teorema de Cauchy, como uma soma dos resíduos nos vários polos. Vamos agora argumentam que os resíduos de ${\displaystyle \psi ^{(\pm )}}$ aproximam-se de ${\displaystyle \phi }$ no tempo ${\displaystyle t\rightarrow \mp \infty }$ e assim os pacotes de onda correspondentes são iguais no tempo infinito.

Na verdade, para tempos positivos t o fator ${\displaystyle e^{-iEt}}$ dos estados da representação de Schrödinger obriga fechar o contorno no semi-plano inferior. O pólo em ${\displaystyle (\phi ,V\psi ^{\pm })}$ para a equação de Lippmann–Schwinger reflete o tempo de incerteza da interação, enquanto que os pacotes de onda refletem a duração da interação. Ambas as variedades de polos ocorrem em energias imaginárias finitas que são suprimidas para tempos muito grandes. O polo da diferença de energia no denominador está no semi-plano superior no caso de ${\displaystyle \psi ^{-}}$, e assim não se encontra dentro do contorno da integral e não contribui para a ${\displaystyle \psi ^{-}}$ integrante. O restante é igual ao pacote de ondas ${\displaystyle \phi }$. Assim, para tempos muito grande ${\displaystyle \psi ^{-}=\phi }$, identificando ${\displaystyle \psi ^{-}}$ como o estado assintótico não-interagente out.

De maneira similar pode-se integrar o pacote de ondas correspondente a ${\displaystyle \psi ^{+}}$ para tempos negativos. Neste caso, o contorno tem de ser fechado sobre o semi-plano superior, o que ocasiona uma perda de energia no polo de ${\displaystyle \psi ^{+}}$, pertencente ao semi-plano inferior. Em seguida, verifica-se que os pacotes de ondas ${\displaystyle \psi ^{+}}$ e ${\displaystyle \phi }$ são iguais no passado assintótico, identificando ${\displaystyle \psi ^{+}}$ como não-interagente para o estado in.

O denominador complexo das equações de Lippmann–Schwinger

A identificação de ${\displaystyle \psi }$ como sendo estados assintóticos é a justificativa para o the ${\displaystyle \pm \epsilon }$ no denominador das equações de Lippmann–Schwinger.

Fórmula para a matriz S

A matriz S é definida como sendo o produto interno

${\displaystyle S_{ab}=(\psi _{a}^{-},\psi _{b}^{+})}$

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entre os estados assintóticos a b na representação de Heisenberg. Pode-se obter a formula que relaciona a matriz S para o potencial V utilizando como estratégia o contorno acima, mas desta vez as funções de comutação serão ${\displaystyle \psi ^{+}}$ e ${\displaystyle \psi ^{-}}$. Como resultado, o contorno agora engloba o pólo de energia. Isso pode estar relacionado com ${\displaystyle \phi }$ se para uma dada matriz S temos duas ${\displaystyle \psi }$ distintas. Identificando os coeficientes das funções ${\displaystyle \phi }$ de em ambos os lados da equação se encontra a fórmula de S relativa ao potencial

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\psi _{b}^{+}).}$

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Na aproximação de Born, que corresponde a teoria de perturbação de primeira ordem, há uma substituição desta última ${\displaystyle \psi ^{+}}$ com a de sua autofunção correspondente ${\displaystyle \phi }$ para o hamiltoniano livre H₀, produzindo

${\displaystyle S_{ab}=\delta (a-b)-2i\pi \delta (E_{a}-E_{b})(\phi _{a},V\phi _{b})\,}$

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que expressa a matriz S inteiramente em termos de V e das autofunções do hamiltoniano livre.

Estas fórmulas podem ser utilizadas para calcular a taxa de reação do processo ${\displaystyle b\rightarrow a}$, que é igual a ${\displaystyle |S_{ab}-\delta _{ab}|^{2}.\,}$

Homogeneização

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A equação de Pauli , também conhecida como Equação Schrödinger-Pauli, é uma formulação da Equação de Schrödinger para um spin-partícula que leva em consideração a interação da rotação de uma partícula com o campo eletromagnético. Essas situações são os casos não-relativísticos da Equação de Dirac, onde as partículas em questão tem uma velocidade muito baixa para que os efeitos da relatividade tenham importância, podendo ser ignorados.

A equação de Pauli foi formulada por Wolfgang Pauli no ano de 1927.

Detalhes

A equação de Pauli é mostrada como:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}({\vec {\sigma }}\cdot ({\vec {p}}-q{\vec {A}}))^{2}+q\phi \right]|\psi \rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi \rangle }$

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Onde:

• ${\displaystyle m\ \ }$ é a massa da partícula.
• ${\displaystyle q\ \ }$ é a carga da partícula.
• ${\displaystyle {\vec {\sigma }}\ \ }$ é um vetor de três componentes do dois-por-dois das matrizes de Pauli. Isto significa que cada componente do vetor é uma matriz de Pauli.
• ${\displaystyle {\vec {p}}\ \ }$ é o vetor de três componentes da dinâmica dos operadores. Os componentes desses vetores são: ${\displaystyle -i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}}$
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• ${\displaystyle {\vec {A}}\ \ }$ é o vetor de três componentes do potencial magnético.
• ${\displaystyle \phi \ \ }$ é o potencial escalar elétrico.
• ${\displaystyle |\psi \rangle \ \ }$ são os dois componentes spinor da onda, podem ser representados como ${\displaystyle {\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}}$.

De forma mais precisa, a equação de Pauli é:

${\displaystyle \left[{\frac {1}{2m}}\left(\sum _{n=1}^{3}(\sigma _{n}(-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}-qA_{n}))\right)^{2}+q\phi \right]{\begin{pmatrix}\psi _{0}\\\psi _{1}\end{pmatrix}}=i\hbar {\begin{pmatrix}{\frac {\partial \psi _{0}}{\partial t}}\\{\frac {\partial \psi _{1}}{\partial t}}\end{pmatrix}}}$

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Mostra que o espaço Hamiltoniano (a expressão entre parênteses ao quadrado) é uma matriz operador dois-por-dois, por conta das matrizes ${\displaystyle \sigma }$ de Pauli.

Na mecânica quântica, a equação de Schrödinger é uma equação diferencial parcial linear que descreve como o estado quântico de um sistema físico muda com o tempo. Foi formulada no final de 1925, e publicada em 1926, pelo físico austríaco Erwin Schrödinger.^[1]

Na mecânica clássica, a equação de movimento é a segunda lei de Newton, (F = ma) utilizada para prever matematicamente o que o sistema fará a qualquer momento após as condições iniciais do sistema. Na mecânica quântica, o análogo da lei de Newton é a equação de Schrödinger para o sistema quântico (geralmente átomos, moléculas e partículas subatômicas sejam elas livres, ligadas ou localizadas). Não é uma equação algébrica simples, mas, em geral, uma equação diferencial parcial linear, que descreve o tempo de evolução da função de onda do sistema (também chamada de "função de estado").^[2]:1–2

O conceito de uma função de onda é um postulado fundamental da mecânica quântica. A equação de Schrödinger também é muitas vezes apresentada como um postulado separado, mas alguns autores^{[3]:Capítulo 3} afirmam que pode ser derivada de princípios de simetria. Geralmente, "derivações" da equação demonstrando sua plausibilidade matemática para descrever dualidade onda-partícula. A equação de Schrödinger, em sua forma mais geral, é compatível tanto com a mecânica clássica ou a relatividade especial, mas a formulação original do próprio Schrödinger era não-relativista.

A equação de Schrödinger não é a única maneira de fazer previsões em mecânica quântica — outras formulações podem ser utilizadas, tais como a mecânica matricial de Werner Heisenberg, e o trajeto da integração funcional de Richard Feynman.

Índice

• 1Soluções
• 2Equação
  • 2.1Equação dependente do tempo
  • 2.2Equação independente do tempo
    • 2.2.1Equação unidimensional
    • 2.2.2Equação multidimensional
• 3Relação com outros princípios
• 4Partícula em uma caixa rígida
• 5Oscilador harmônico quântico
• 6Átomo de Hidrogênio
• 7Ver também
• 8Referências

Soluções

Na interpretação padrão da mecânica quântica, a função de onda é a descrição mais completa que pode ser dada a um sistema físico. A função de onda - um objeto matemático que especifica completamente o comportamento dos elétrons em uma molécula - é central tanto para a química quântica quanto para a equação de Schrödinger. A função de onda é uma entidade de alta dimensão e, portanto, é extremamente difícil capturar todas as nuances que codificam como os elétrons individuais afetam uns aos outros. Muitos métodos da química quântica na verdade desistem de expressar a função de onda por completo, em vez de tentar apenas determinar a energia de uma dada molécula. No entanto, isso requer que sejam feitas aproximações, limitando a qualidade da previsão de tais métodos.

As soluções para a equação de Schrödinger descrevem não só sistemas moleculares, atômicas e subatômicas, mas também os sistemas macroscópicos, possivelmente, até mesmo todo o universo.^[4]:292ff A melhor das soluções, a rede neural profunda é uma maneira de representar as funções de onda dos elétrons. Em vez da abordagem padrão de compor a função de onda a partir de componentes matemáticos relativamente simples, os desenvolvedores projetaram uma rede neural artificial capaz de aprender os padrões complexos de como os elétrons estão localizados ao redor dos núcleos. Quando dois elétrons são trocados, a função de onda deve mudar seu sinal. Para que a solução funcione, essa propriedade foi construída na arquitetura da rede neural. Esse recurso é conhecido como princípio de exclusão de Pauli.^[5] Além do princípio de exclusão de Pauli, as funções de onda eletrônica também têm outras propriedades físicas fundamentais, e o sucesso da abordagem PauliNet é que ela integra essas propriedades na rede neural profunda, em vez de permitir que o aprendizado profundo as decifre apenas observando os dados. Com esta abordagem de 2020, as possibilidades se abrem para resolver problemas nas ciências moleculares e materiais.^[6]

Equação

Equação dependente do tempo

Usando a notação de Dirac, o vetor de estados é dado, em um instante ${\displaystyle t}$ por ${\displaystyle \left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$. A equação de Schrödinger dependente do tempo, então, escreve-se:^[7]

Equação de Schrödinger Dependente do Tempo (geral) ${\displaystyle {\hat {H}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\left|\psi ({\vec {r}},t)\right\rangle }$ /////////////////////////////////////////// SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões + SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

Em que ${\displaystyle i}$ é a unidade imaginária, ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck dividida por ${\displaystyle 2\pi }$, e o Hamiltoniano ${\displaystyle {\hat {H}}}$ é um operador auto-adjunto atuando no vetor de estados. O Hamiltoniano representa a energia total do sistema. Assim como a força na segunda Lei de Newton, ele não é definido pela equação e deve ser determinado pelas propriedades físicas do sistema.

Equação independente do tempo

Equação unidimensional

Em uma dimensão, a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[8]

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}\left(x\right)+V\left(x\right)\psi \left(x\right)=E\psi \left(x\right)}$,

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em que ${\displaystyle \psi \left(x\right)}$ é a função de onda independente do tempo em função da coordenada ${\displaystyle x}$; ${\displaystyle \hbar }$ é a constante de Planck ${\displaystyle h}$ dividida por ${\displaystyle 2\pi }$; ${\displaystyle m}$ é a massa da partícula; ${\displaystyle V\left(x\right)}$ é a função energia potencial e ${\displaystyle E}$ é a energia do sistema.

Equação multidimensional

Em mais de uma dimensão a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula escreve-se:^[9]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{{\nabla }^{2}}\psi \left({\vec {r}}\right)+V\left({\vec {r}}\right)\psi \left({\vec {r}}\right)=E\psi \left({\vec {r}}\right)}$

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em que ${\displaystyle {\nabla }^{2}\psi =\sum _{n=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x_{n}^{2}}}}$

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Relação com outros princípios

Uma maneira mais didática de observar a equação de Schrödinger é em sua forma independente do tempo e em uma dimensão. Para tanto, serão necessárias três relações:

Definição de Energia Mecânica: ${\displaystyle E_{m}=E_{c}+V}$

Equação do Oscilador harmônico: ${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}\psi =0}$

Relação de De Broglie: ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}$

Onde ${\displaystyle \psi }$ é a função de onda, ${\displaystyle \lambda }$ é o comprimento de onda, h é a constante de Planck e p é o momento linear.

Da Relação de De Broglie, temos que ${\displaystyle \lambda ={\frac {h}{mv}}}$, que pode ser substituída na equação do Oscilador Harmônico:

${\displaystyle \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+\left({\frac {2\pi mv}{h}}\right)^{2}\psi =0\to \quad {\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}={\frac {-4(\pi )^{2}m^{2}v^{2}}{h^{2}}}\psi \to {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m^{2}}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=v^{2}\psi }$

Rearranjando a equação de energia, temos que ${\displaystyle v^{2}={\frac {2(E_{m}-V)}{m}}}$, substituindo ${\displaystyle v^{2}}$ na equação anterior:

${\displaystyle {\frac {-h^{2}}{4(\pi )^{2}m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}=2(E_{m}-V)\psi }$ , definindo ${\displaystyle \hbar \ ={\frac {h}{2\pi }}}$, temos:

${\displaystyle {\frac {-\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+V\psi =E\psi }$

Que é a Equação Independente do Tempo de Schrödinger e também pode ser escrita na notação de operadores:

${\displaystyle {\widehat {H}}\psi =E\psi }$, em que ${\displaystyle {\widehat {H}}\psi }$ é o Operador Hamiltoniano operando sobre a função de onda.

Partícula em uma caixa rígida

Ver artigo principal: Partícula em uma caixa

Oscilador harmônico quântico

Ver artigo principal: Oscilador harmônico quântico

Assim como na mecânica clássica, a energia potencial do oscilador harmônico simples unidimensional é:^[10]

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}kx^{2}}$

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Lembrando a relação ${\displaystyle \omega ={\sqrt {\frac {k}{m}}}}$, também pode se escrever:

${\displaystyle V\left(x\right)={\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}}$

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Então a equação de Schrödinger para o sistema é:

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {d^{2}\psi }{dx^{2}}}+{\frac {1}{2}}m\omega ^{2}x^{2}\psi =E\psi }$

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Solucionando a equação de Schrödinger, obtém-se os seguintes estados estacionários:

${\displaystyle \psi _{n}(x)={\sqrt {\frac {1}{2^{n}\,n!}}}\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{1/4}\cdot e^{-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}}\cdot H_{n}\left({\sqrt {\frac {m\omega }{\hbar }}}x\right),\qquad }$

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${\displaystyle n=0,1,2,\ldots .}$

em que H_n são os polinômios de Hermite.

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right)}$

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E os níveis de energia correspondentes são:

${\displaystyle E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right).}$

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Isso ilustra novamente a quantização da energia de estados ligados.

 é o operador laplaciano em ${\displaystyle N}$ dimensões aplicado à função ${\displaystyle \psi }$.

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Em mecânica quântica, a solução da Equação de Schrödinger para o átomo de Hidrogênio é o processo de resolução da equação diferencial parcial formulada por Erwin Schrödinger em 1925 para o caso particular de duas partículas de cargas elétricas de mesmo módulo e sinal oposto (um elétron e um próton), em que a função energia potencial a que o elétron, a menor das duas partículas, está sujeito é da forma:^[1][2]

${\displaystyle V(r)=-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$

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Em que ${\displaystyle r}$ é a distância entre as partículas. Isto é, corresponde à interação, provocada pela força elétrica, entre próton e elétron característica de um átomo de Hidrogênio. Devido às consequências dramáticas se comparadas ao resultado do modelo clássico para essa situação, tal resolução é de extrema importância para a teoria atômica e, portanto, para a química, já que introduz os conceitos de orbital e números quânticos, a serem generalizados para outros elementos químicos, para além do Hidrogênio.^[2]

Para resolvê-la, a equação de Schrödinger independente do tempo é escrita em coordenadas esféricas, de modo que a função de onda ${\displaystyle \psi }$ seja tal que ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$.^[2] Dessa forma a equação, genericamente escrita como

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}{{\nabla }^{2}}\psi +V\psi =E\psi }$

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será escrita da seguinte maneira:^[2]

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{e}}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}\right)-{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}\psi =E\psi }$

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Em que ${\displaystyle m_{e}}$ é a massa do elétron e ${\displaystyle E}$ é uma energia bem definida, isto é, representa os autovalores possíveis da energia, que, por sua vez, representam estados estacionários.

Esse problema é um caso particular do problema de força central em três dimensões espaciais em mecânica quântica, caracterizado por uma função energia potencial da forma ${\displaystyle V=V(r)}$, podendo este potencial ter outras formas que não somente proporcionais ao inverso do quadrado da distância.^[2]

Índice

• 1Solução por separação de variáveis
• 2Solução da equação em ${\displaystyle \phi }$
  • 2.1Quantização de ${\displaystyle m}$
• 3Referências

Solução por separação de variáveis

Ver artigo principal: Separação de variáveis

Primeiramente, torna-se prático isolar o operador laplaciano do lado esquerdo da equação e retornar a escrever a energia potencial ${\displaystyle -{\frac {ke^{2}}{r^{2}}}}$ como ${\displaystyle V(r)}$, por compacticidade. Logo, a equação fica:^[2]

${\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}(r\psi )+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\operatorname {sen} \theta {\partial \psi \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{\partial ^{2}\psi \over \partial \phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)\psi }$

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Para encontrar as funções ${\displaystyle \psi =\psi (r,\theta ,\phi )}$ que são soluções da equação, utiliza-se o método da separação de variáveis, baseando-se no teorema que afirma que toda solução de uma equação diferencial parcial linear pode ser escrita como uma combinação linear de um conjunto (talvez infinito) de soluções separáveis, isto é, que possuem a seguinte forma:^[2]

${\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )}$

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Substituindo na equação de Schrödinger, percebe-se que a derivação só afetará uma das funções que compõem ${\displaystyle \psi }$, ou seja, já que não há derivadas cruzadas, somente uma dentre as três funções ${\displaystyle R(r)}$, ${\displaystyle \Theta (\theta )}$ e ${\displaystyle \Phi (\phi )}$ serão afetadas para cada termo. Além disso, as derivadas parciais tornar-se-ão derivadas ordinárias, já que cada uma dessas funções depende somente da variável em relação a qual a função está sendo derivada, resultando em:^[2]

${\displaystyle {\frac {\Theta \Phi }{r}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{R\Phi \over r^{2}\operatorname {sen} \theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{R\Theta \over r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)R\Theta \Phi }$

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Multiplicando ambos os lados da equação por ${\displaystyle {\frac {r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R\Theta \Phi }}}$, obtém-se:^[2]

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${\displaystyle {\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+{1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta }$

Ao atentar-se, percebe-se que o termo que envolve o terceiro termo aditivo do lado esquerdo da equação é a única dependência em ${\displaystyle \phi }$ da equação inteira. Isolando-o, obtém-se:^[2]

${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta -{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)-{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

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Como o lado esquerdo, depende somente de ${\displaystyle \phi }$ e como o lado direito depende somente de ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$, podemos escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle f=f(\phi )}$ e o direito uma função ${\displaystyle g=g(r,\theta )}$. Logo, vale a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle f(\phi )=g(r,\theta )}$

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Contudo, como as três coordenadas esféricas são variáveis independentes, a única maneira da igualdade entre as funções ser verdadeira é se ambas forem iguais a uma constante. Tal constante é tradicionalmente escrita como sendo ${\displaystyle -m^{2}}$, em que ${\displaystyle m}$ seja, a princípio, um número qualquer. Assim, as equações foram separadas, tornando-se duas equações diferenciais ordinárias distintas: uma dependente da variável ${\displaystyle \phi }$ e outra dependente das variáveis ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ . Elas encontram-se abaixo:^[2]

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$ /////////////////////////////////////////// SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões + SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químicos SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ e ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}\operatorname {sen} ^{2}\theta +{\frac {r\operatorname {sen} ^{2}\theta }{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{\operatorname {sen} \theta \over \Theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=m^{2}}$

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Nota-se que a segunda equação ainda possui variáveis acopladas e, portanto, deve-se separá-las de maneira similar à anterior. Para isso, divide-se a segunda equação por ${\displaystyle sen^{2}\theta }$ e se coloca o terceiro termo do lado esquerdo para o lado direito da equação, obtendo a seguinte expressão:^[2]

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)+{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\implies -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)}$

Novamente, temos o lado esquerdo da equação dependente somente de ${\displaystyle r}$ e o lado direito dependente somente de ${\displaystyle \theta }$, podendo escrever que o lado esquerdo é uma função ${\displaystyle F=F(r)}$ e o direito uma função ${\displaystyle G=G(\theta )}$. Logo,é válida a seguinte igualdade:^[2]

${\displaystyle F(r)=G(\theta )}$

E, mais uma vez, a única maneira de isso se verificar é se ambas forem iguais a uma constante. Essa constante, por motivos que ficarão claros mais adiante na resolução, é convenientemente escrita como ${\displaystyle l(l+1)}$, em que ${\displaystyle l}$ é um número qualquer, a princípio. Assim, obtemos duas novas equações:

${\displaystyle {\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}-{1 \over \Theta sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)=l(l+1)}$

${\displaystyle -{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r^{2}+{\frac {r}{R}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=l(l+1)}$

Na primeira equação, passando os termos da esquerda para a direita e multiplicando-a pela função incógnita ${\displaystyle \Theta }$, obtemos:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle {1 \over sen\theta }{d \over d\theta }\left(\operatorname {sen} \theta {d\Theta \over d\theta }\right)+\left(l(l+1)-{\frac {m^{2}}{sen^{2}\theta }}\right)\Theta =0}$

Na segunda equação, denominada equação radial, primeiramente se isola o segundo termo do lado esquerdo e depois se multiplica a equação por ${\displaystyle {\frac {R}{r}}}$, obtendo:

${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)=\left[{\frac {l(l+1)}{r}}+{\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left(V(r)-E\right)r\right]R}$

Por fim, fatorando o termo ${\displaystyle {\frac {2m_{e}r}{\hbar ^{2}}}}$ do lado direito, conclui-se com a seguinte equação:

Equação diferencial ordinária em ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle {\frac {d^{2}}{dr^{2}}}(rR)={\frac {2m_{e}}{\hbar ^{2}}}\left[{\frac {l(l+1)\hbar ^{2}}{2m_{e}r^{2}}}+V(r)-E\right](rR)}$

Solução da equação em ${\displaystyle \phi }$

A equação mais simples e a primeira a ser obtida é a equação da coordenada angular ${\displaystyle \phi }$ que, de fato, é idêntica à equação do oscilador harmônico simples.

Equação diferencial em ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle {1 \over \Phi }{d^{2}\Phi \over d\phi ^{2}}=-m^{2}}$

É também possível escrevê-la, usando a notação ${\displaystyle \Phi ''={\frac {d^{2}\Phi }{d\phi ^{2}}}}$, como:

${\displaystyle \Phi ''+m^{2}\Phi =0}$

Há duas maneiras principais de como escrever a solução geral dessa equação: como combinação linear de senos e cossenos ou como combinação linear de exponenciais imaginárias. Isto é:

${\displaystyle \Phi (\phi )=A\operatorname {sen}(m\phi )+B\cos(m\phi )}$

${\displaystyle \Phi (\phi )=Ae^{im\phi }+Be^{-im\phi }}$

É conveniente escolher a segunda forma, admitindo a possibilidade que ${\displaystyle m}$ possa ser tanto positivo quanto negativo, e omitindo a constante ${\displaystyle A}$, devido à propriedade de normalização da função de onda. Assim, a solução fica:

${\displaystyle \Phi (\phi )=e^{im\phi }}$, ${\displaystyle m\geq 0}$ ou ${\displaystyle m<0}$.

Quantização de ${\displaystyle m}$

Usando a propriedade cíclica da função ${\displaystyle \Phi }$, isto é, que ${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )}$, obtemos o seguinte:

${\displaystyle \Phi (\phi +2\pi )=\Phi (\phi )\implies e^{im(\phi +2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im\phi }.e^{im(2\pi )}=e^{im\phi }\implies e^{im(2\pi )}=1}$

Para que essa última exponencial imaginária seja igual a 1, ${\displaystyle m}$ tem de ser um número inteiro. Esse número é denominado o número quântico magnético.

${\displaystyle m=0,1,-1,2,-2,...}$